Julies Blog

About Me

Tyas's Blog

Lihat profil lengkapku
Archive
▼ 2009 (6)

▼ Desember (5)

Barisan dan Deret Geometri

Baris dan Deret Aritmatika

Baris dan Deret Bilangan

FUNGSI

Pengenalan Trigonometri

► November (1)
Jangan hanya menilai perubahan,
tapi, lihatlah perkembangan,
perkembangan selalu diikuti perubahan,
tapi, perubahan belum tentu melewati tahap perkembangan.

Barisan dan Deret Geometri

1. BARISAN GEOMETRI

Definisi : Barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap.
Bilangan ini disebut rasio (r)

U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)

2. DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:
1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
5. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + ...
Un = a + ar + ar² ...n=1
dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

Diambil dari http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0414%20Mat%202-5c.htm

Baris dan Deret Aritmatika

19.49 Edit This 0 Comments »

1. BARISAN ARITMATIKA
Dalam pembahasan sebelumnya, telah diketahui bahwa
barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . .,Un. Barisan bilangan ini disebut sebagai barisan bilangan aritmatika, jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap.
Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi,Jika dalam barisan aritmatika tersebut suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a+(n–1)b
U1, U2, U3, .......Un-1,
Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

2. DERET ARITMATIKA
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a ,a + b

Diambil dari http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0414%20Mat%202-5c.htm

Baris dan Deret Bilangan

19.48 Edit This 0 Comments »

1. Pengertian Pola Bilangan

Sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.
Dari beberapa jenis bilangan, tidak semua bilangan akan kami bahas. Dalam bab ini pembahasan akan difokuskan pada himpunan bilangan asli. Sedangkan bilangan asli sendiri dibagi menjadi beberapa himpunan bagian bilangan asli.

Beberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:
Himpunan bilangan ganjil = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }
Himpunan bilangan genap = {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}
Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, dan
Himpunan bilangan prima = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }
Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-pola
bilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan
bilangan asli.

. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap

a. Pola Bilangan Ganjil
Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9 . . .}
Dari pola-pola bilangan ganjil, kemudian dapat ditentukan jumlah bilangan asli ganjil.
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama =n2(n kuadrat)

b. Pola Bilangan Genap
Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)

3. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
kata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika di
perhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya.
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n-1 atau (2 pangkat n-1)

B. Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap - tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebut suku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan
dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.

Menentukan Suku Barisan
Untuk menentukan suku-suku barisan bilangan dapat dicari
dari melihat suku-suku barisan bilangan yang telah diketahui.

Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan
Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari
dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan.

(Diambil dari LKS Matematika Kelas XI Smt Ganjil)

Sebelumnya saya moon maaf karena penulisannya masih secara manual tanpa equation, masih dalam tahap belajar… Thanks.

FUNGSI

18.18 Edit This 0 Comments »

Relasi : Suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan asal dengan anggota himpunan B.

Fungsi : Relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Domain : Daerah asal suatu fungsi.

Kodomain : Daerah kawan suatu fungsi.

Range : Daerah hasil ,yaitu himpunan anggota A yang mempunya pasangan dengan anggota B suatu fungsi.

1. Diagram Panah

Telah dibicarakan dari dua himpunan dapat dibentuk relasi antara anggota-anggotanya. Misalnya antara himpunan anak : A = { Tyas, Laily, Tika, Lyna} dan himpunan permainan: B = { voli, basket, tenis} terdapat relasi gemar bermain.

2. Diagram Cartesius

Relasi antara anggota dua himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram (grafik) Cartesius dengan anggota himpunan A sebagai himpunan pertama berada pada sumbu mendatar (horisontal) dan anggota himpunan B sebagai himpunan kedua berada pada sumbu tegak (vertikat). Setiap pasangan anggota himpunan pertama yang berelasi dengan anggota himpunan kedua dinyatakan dengan sebuah nokta (Ÿ).

3. Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi antara anggota dua himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x,y) dengan x Є A dan y Є B yang berpasangan. Relasi yang ditunjukkan dengan diagram panah pada pembahasan di atas dapat dinyatakan sebagia himpunan pasangan berurutan berikut ini :

F = {(Tyas,voli), (Laily,voli), (Laily,basket), (Tika,voli), (Tika,basket),

(Tika,tenis), (Lyna,tenis)}

Domain = {Tyas, Laily, Tika, Lyna}

Kodomain = {Voli, Basket, Tenis}

Range = {Voli, Basket, Tenis}

Macam – macam Fungsi menurut pasangannya.

¯ Fungsi Into / Onto.

Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.

¯ Fungsi Injektif,

Karena setiap kodomain berpasangan tepa satu dengan Kodomain.

¯ Fungsi Subyektif

Karena setiap kodomai berpasang dengan domain.

3. Menentuka Persamaan Garis

a. Persamaan Garis Melalui Titik P (x₁,y₁), dan Mempunyai Gradien m,

maka Persamaan Garis y – y1 = m(x – x₁)

Contoh : Menentuka persamaan garis yang melalui titik A(2,3) dengan gradient -¹/_2.

y – y₁ = m(x – x₁)

y – 3 = -¹/₂(x - 2)

2(y-3) = -1 (x - 2)

2y – 6 = -x + 2

2y = -x + 8

b. Pesamaan garis yang Melalui Dua Titik

Persamaan garis yang melalui titik A(x₁,y₁) dan titik B(x₂,y₂), bentuk persamaanya

sebagai berikut

m = y₂ –y₁

x₂ –x₁

c. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik dan Sejajr garis Lain

Syarat : Dua garis g1 dan g2 saling sejajar bila hanya bila mg₁ = mg₂.

d. Persamaan Garis Melalui Sebuah Titik dan Tegak Lurus dengan Suatu Garis

Syarat : Dua garis g1 dan g2 saling tegak lurusbila hanya bila mg₁ . mg₂= -1

4. Menentukan Titik Potong Persamaan Dua Garis Lurus

Untuk menentukan titik potongbdua garis ada tiga cara yang telah dipelajari antara lain

cara eliminasi, subtitusi, determinasi.

5. Menentukan Besar Sudut yang dibentuk oleh Grafik Fungsi terhadap

Sumbuh X Positif

Untuk menentukan besar sudut garis ingat tg α = m.

Contoh : Menentukan sudut yang dibentuk oleh garis y – x = 3.

y – x =3 ð y = x + 3, dimana m = 1.

Maka : tg α ð α = arc tg 1 = 45º.

6. Invers Fungsi Linier

a. Pengertian Invers Suatu Fungsi

Jika fungsi f: a → b, maka peta setiap x є A adalah y є B yang ditulisy = f(x). Maka

invers fungsi f ditulis f-1 : B → A, setiap y є B adalah x є A yang ditulis x = f-1 (y).

Jadi, f-1 : B → A adalah invers fungsi f: A → B.

b. Menentkan Rumus Fungsi Invres

Langkah – langkahnya sebagai berikut :

1. Misalkan y = f(x)

2. nyatakan nilai x dalam y yang dinamakan f^-1(y)

3. gantilah y pada f^-1(y) dengan x untuk mendapatkan f_-1(x)

Itulah sedikit ilmu yang saya kutib dari buku, dan pembuatanya pun secara manual. Apabila ada kesalahan dalam materi maupun penyampaiannya, saya minta maaf. Karena saya masih dalam tahap pembelajaran…..!!!!

Pengenalan Trigonometri

18.07 Edit This 0 Comments »

Dari kata TRI pada kata TRIGONOMETRI berarti ada 3, yaitu SIN, COS, dan TAN.Kemudian TRIGONOMETRI dikembangkan lagi menjadi SEC (kebalikan COS), COSEC (kebalikan SIN), dan COTAN (kebalikan TAN).

Pertidaksamaan Trigonometri

¯ Ubah sehingga sisi kanan adalah nol.

¯ Faktorkan sisi kiri menjadi bentuk perkalian

¯ Hitung masing-msing faktornya.

¯ Buat garis bilangan

¯ Tentukan bagian mana yang benar pada garis bilangan, jangan lupa memasukkan

batas dan syarat lain.

¯ Didapat jawabannya

Hubungan sesama

Teorema Phytagoras mengatakan x²+y²=r²

¯ Bagi dengan r² didapat Cos² α + Sin² α = 1

¯ Bagi dengan x² didapat 1 + Tan² α = Sec² α

¯ Bagi dengan y² didapat Cot² α + 1 = Csc² α

Hubungan Sin dan Cos ; Tan dan Cot

Hal ini juga berlaku bila 90 diganti dengan 270 untuk semua yang di bawah ini :

¯ Sin ( 90 ± α ) = Cos α bila ( 90 ± α )

Ini terletak di kuadran 1 dan 2.

¯ Sin ( 90 ± α ) = - Cos α bila ( 90 ± α )